最小二乘法，说白了其实就是解决线性回归问题的一个算法。这个算法最早是由高斯和勒让德分别独立发现的，也是当今十分常见的线性拟合算法，并不复杂。
我们常用的最小二乘法有两种，一种是普通方程表示的简单线性拟合问题，另一种是矩阵表示的高维度的线性拟合问题。
普通最小二乘法
他解决的基本问题其实就是给定一些数对$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),….$，让你求出参数$\beta_0,\beta_1$，使得直线$y=\beta_0+\beta_1 x$能够最好的拟合这个数据集，也就是使得他的平方损失函数取到最小值，即
$$Q=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} (y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2$$
最小。
为了取得最小值，我们分别对$\beta_0,\beta_1$求偏导，并使之为０。
$$
\left\{\begin{aligned}&\frac{\partial Q}{\partial \beta_0}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)=0\\& \frac{\partial Q}{\partial \beta_1}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x_i(y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)=0\end{aligned}\right.
$$
解得：
$$\left\{\begin{aligned}&\beta_0=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}\\& \beta_1=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_iy_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}\end{aligned}\right.$$
套用这个公式得到的参数$\beta_0,\beta_1$就是最好的拟合参数了。
矩阵最小二乘法
用矩阵表示的最小二乘法则更加方便，能够用非常简单的矩阵形式进行计算，而且能拟合多维度的线性方程。
对于线性回归，我们要做的事情其实可以近似等同于解线性方程AX=Y，其中A是mn的矩阵，X,Y是1m的矩阵。m是数据的对数，n是数据的维数加１(因为还有常数)，而且n应该小于m。
当然，这个方程是没有解得，不过我们可以通过数值运算计算出一个解，可以证明这个解就是平方损失函数最小的解。
$$X=(A*A^T)^{-1}A^TY$$
解出的X就是线性回归函数的系数矩阵。
