【Algorithm Notes】LCA Tarjan求法

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流程

前置操作分为以下几步:

  1. 使用 $\texttt{DFS}$ 遍历整棵树
  2. 当一个节点被访问过时, 将其标记为1
  3. 当一个节点及其子树(或其本身就是叶子节点)都被访问过时, 将该点标记为2

这样, 在任意一次操作过后, 都会出现如下情况:

所有的标记为2的节点, 共同构成一棵子树

且该子树总是在整棵树的左下处

从动态的角度来看, 就是一棵全为2的子树, 从左下角的那个叶子节点处缓缓地”长”了出来

这样有什么好处呢

这个性质可以帮助我们很好地离线解决$\texttt{LCA}$问题

Solve

建立一个并查集: father[]

在搜索的返回过程中, 将已经变成2的那个节点的father设为它的父亲节点(相当于把该节点”缩”到了其父亲节点上)

在搜索的返回前, 即遍历完该节点的子树后, 判断该节点$u$有没有被”提问”过

如果有, 假设提问为$lca(u, v)$, 则标记答案为getfather(v), 其中getfather()函数为并查集自带的查找祖先节点的函数

  • 为什么?

根据上边的结论, 此时的getfather(v)即为那棵全为2的子树的根节点$root’$, $\because u$和$v$均在这棵子树上, $\therefore root’$为$u$和$v$的公共祖先

考虑$\texttt{DFS}$序, $\because \texttt{DFS}$访问完一个节点不会马上往上走, 而是会去遍历其它节点, $\therefore root’$以下没有一个$root’’$满足是$u$和$v$的公共祖先 $\therefore lca(u, v) = root’$

代码

Code
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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int SIZE = 5e6 + 1;

struct edge
{
    int to_node, id;
    edge(int t, int i): to_node(t), id(i) {}
    ~edge() = default;
};

vector<int> edges[SIZE];
vector<edge> querys[SIZE];
int father[SIZE], mark[SIZE], ans[SIZE];

int n, m, s;

int getfa(int x)
{
    if (father[x] == x)
        return x;
    else
        return father[x] = getfa(father[x]);
}

void tarjan(int x)
{
    mark[x] = 1;
    for (auto i = edges[x].begin(); i != edges[x].end(); i++)
    {
        if (mark[*i])
            continue;
        tarjan(*i);
        father[*i] = x;
    }
    for (auto i = querys[x].begin(); i != querys[x].end(); i++)
    {
        int y = (*i).to_node, id = (*i).id;
        if (mark[y] == 2)
            ans[id] = getfa(y);
    }
    mark[x] = 2;
}

int main()
{
    int u, v;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        father[i] = i;
        mark[i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        edges[u].emplace_back(v);
        edges[v].emplace_back(u);
    }
    int x, y;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if (x == y)
            ans[i] = 0;
        else
        {
            querys[x].emplace_back(edge(y, i));
            querys[y].emplace_back(edge(x, i));
        }
    }
    tarjan(s);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}

时间复杂度

$$ \Theta{(n + m)} $$

搜索过程是$\Theta{(n)}$的, 而其中的求解过程可以单独拆出来看, 它就是一个$\Theta{(m)}$

用一张表来分析分析求$\texttt{LCA}$的各种算法的优劣之处:

算法 优劣 时间复杂度 评测结果
朴素 比较好想2333 $\Theta{(nm)}$ TLE
倍增优化 也比较好想, 但是较容易敲挂 $\Theta{((n + m)logn)}$ AC
Tarjan 比较精妙, 也不太好写 $\Theta{(n + m)}$ AC