二值形态学之腐蚀与膨胀

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数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：二值腐蚀和膨胀、二值开闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换、灰值腐蚀和膨胀、灰值开闭运算、灰值形态学梯度等。

这是我们在进行图像处理时十分常见的算法工具，在实际中有着非常广泛的应用。

下面就先介绍下二值形态学中的两个重要操作－－腐蚀与膨胀。

二值腐蚀

简述

所谓二值腐蚀，就是对一个二值图进行腐蚀操作。我们对一个二值图像进行腐蚀操作首先需要一个模板核。模板核由一个二值矩阵组成，当中还定义了一个原点，表示核的核心。

接下来，对于二值图像的每一个像素点（无论０还是１），我们将他与模板核的核心对齐，查看模板核中所有值为１的格点组成的图像是否被完全包含在那个二值图像中。如果是，则将该像素点更新为１，否则，更新为０。

通俗的讲，其实就是用我们的模板来对图像进行检测，以便找出图像内部可以放得下该基元的区域。

这个过程的效果是消除边界点，使得边界向内部收缩。

定义

集合$A$被$B$腐蚀，表示为$A\Theta B={c|B+c\subset A }$

其中$A$为待腐蚀的图像，$B$为模板向量。

比如二值图像：

$S=\begin{bmatrix}0&1&0&1&0\\0&1&1&0&1\\0&1&1&1&0\end{bmatrix}$

以及模板：

$E=\begin{bmatrix}1&0\\1&1_\triangle\end{bmatrix}$

其中$\ _\triangle$表示模板的原点。

那么$E$对$S$腐蚀的结果就为：

$S\Theta E=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&1&1&0\end{bmatrix}$

OpenCV调用

本来想用pil实现下的，然而突然想通了，既然OpenCV有实现好的函数，为何还要用pil折腾呢？于是就用OpenCV的python接口体验下效果：(python接口的安装只需直接apt-get install python-opencv即可)

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#coding:utf-8
import numpy as np
import cv2

im=cv2.imread('test.jpg',cv2.IMREAD_GRAYSCALE)#读取图像

thresh,im=cv2.threshold(im,0,255,cv2.THRESH_BINARY+cv2.THRESH_OTSU)#用OTSU自动获取阈值并进行二值化，第一个参数表示图像，第二个表示设置阈值（由于我们用OTSU自动设置，所以这里必须填０），第三个参数表示将超过正常范围的像素设置的值，最后一个传入控制参数。

cv2.imshow('binary',im)
cv2.imwrite('binary.png',im)

kernel=np.ones((6,6),np.uint8)#生成一个6x6的核

erosion=cv2.erode(im,kernel,iterations=1)#调用腐蚀算法

cv2.imshow('erosion',erosion)
cv2.imwrite('erosion.png',erosion)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

图样

binary

erosion

二值膨胀

简述

晓得了二值腐蚀，那么二值膨胀也就很好理解了。他的作用和腐蚀恰好相反，他能够用来填补一些小洞洞，将两个物体连接起来。

最终效果就是扩展边界，使得图像变得膨胀。对于膨胀，其实可以用腐蚀来理解。对图像的膨胀其实也就是对背景的腐蚀。

当然也可以用类似腐蚀的方法来描述，我们需要用一个定义了原点的模板核，这个核是一个二值矩阵。然后对于待处理图像的每一个值为１的像素点，将他与模板核的原点对其，然后对于模板核中值为１的点在图像中对应的像素更新为１。

通俗的讲，就是将每一个像素点用模板核来代替，并将所得到的所有图像求一个并操作。

定义

集合$A$被模板$B$膨胀，表示为$A\bigoplus B=[A^c\Theta (-B)]^c$

其中$A^c$表示A的补集，$-B$表示将$B$旋转180°。

以上是用腐蚀进行的定义，还可以直接定义：

$A\bigoplus B=\cup{A+b|b\in B}$

这个式子也被称作明夫斯基和形式。

OpenCV调用

同之前一样，调用下OpenCV的接口体验下效果：

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#coding:utf-8
import numpy as np
import cv2
im=cv2.imread('test.jpg',cv2.IMREAD_GRAYSCALE)#读取图像

thresh,im=cv2.threshold(im,0,255,cv2.THRESH_BINARY+cv2.THRESH_OTSU)#用OTSU自动获取阈值并进行二值化，第一个参数表示图像，第二个表示设置阈值（由于我们用OTSU自动设置，所以这里必须填０），第三个参数表示将超过正常范围的像素设置的值，最后一个传入控制参数。

cv2.imshow('binary',im)
cv2.imwrite('binary.png',im)

kernel=np.ones((6,6),np.uint8)#生成一个6x6的核

dilation=cv2.dilate(im,kernel,iterations=1)#调用膨胀算法

cv2.imshow('dilation',dilation)
cv2.imwrite('dilation.png',dilation)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

图样

binary

dilation